【解析】

第一，A培训机构与小林间法律关系如何定性？根据《合同法》第2条规定，双方成立了以培训为主要内容的合同，小林负有支付学费的义务，享有获得培训的权利；A负有组织培训的义务，拥有收取学费的权利。

第二，招生简章该如何定性？根据《合同法》第14条、第15条规定，招生简章详细说明师资阵容，介绍上课时间地点及学费等情况，跟商业广告性质类似。若招生简章明确注明要约，或者构成未来合同的主要条款，或者写明相对人只要作出规定行为即可成立合同时，此时构成要约；其他情况下，一般属于要约邀请。要约对要约人具有约束力，要约邀请并无拘束力。就师资介绍这块内容，因未列入双方所签订的合同条款中去，故仅为要约邀请。

第三，A培训机构该承担何种法律责任？《民办教育促进法》第62条规定，民办学校发布虚假招生简章或者广告，骗取钱财的，由审批机关或者其他有关部门责令限期改正，并予以警告；有违法所得的，退还所收费用后没收违法所得；情节严重的，责令停止招生、吊销办学许可证；构成犯罪的，依法追究刑事责任。这条规定根据情节轻重设置三种惩罚，一是责令限期改正类，二是停止招生类，三是追究刑事责任类。该案小林可向教育部门或者劳动与社会保障部门投诉。

第四，小林该如何维护合法权益？根据相关法律规定，若招生简章过于夸大，以至构成欺诈时，小林作为受损害方，有权请求有管辖权的人民法院或者仲裁机构变更或者撤销合同。撤销合同与退班性质不同，前者意味着合同自始至终没有法律约束力，后者承认合同合法有效，因特殊情况而使权利义务归于终止。